化学工程一维传热模拟

题目定义

求两端恒温的绝缘细棒的温度变化曲线。其中一端为高温 $T_{H} = 150 \mathrm{^\circ C}$，另一端低温 $T_L = 50 \mathrm{^\circ C}$。细棒初始温度为 $T_{i} = 10 \mathrm{^\circ C}$. 细棒有 $30 \ \mathrm{cm}$ 长。探讨不同材料的温度曲线。

解析解

我们有热传递方程

$$k\nabla^2 T + \dot{q} + \Phi = \rho C_V\dfrac{\partial T}{\partial t}$$

其中 $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$.

根据题目，我们有如下假设：

• 无热源/发热，为绝缘系统
  • $\dot{q} = 0$
• 无流体或热运动
  • $\Phi = 0$
• 细棒 $\implies$ 一维传热（在$y, z$方向没有传热）
  • $\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0, \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = 0$
• 恒定热导率 $\implies k \not= f(x, y, z, t)$
  • $k$ 可被化简

因此，我们可以简化热传递方程:

$$\begin{aligned} k\nabla^2 T + \dot{q} + \Phi &= \rho C_V\dfrac{\partial T}{\partial t} \\ k\nabla^2 T &= \rho C_V\dfrac{\partial T}{\partial t} \\ k\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) T &= \rho C_V\dfrac{\partial T}{\partial t} \\ k\frac{\partial^2T}{\partial x^2} &= \rho C_V\dfrac{\partial T}{\partial t} \end{aligned}$$

其中 $[k] = \mathrm{J m^{-1} s^{-1} K^{-1}}$ 为热导率，$[\rho] = \mathrm{kg/m^{3}}$ 为密度，$[C_V] = \mathrm{J kg^{-1} K^{-1}}$ 为比热容。

由热扩散系数的定义，我们有

$$k_{td} = \dfrac{k}{\rho C_V},$$

合并系数，可得

$$k_{td}\frac{\partial^2T}{\partial x^2} = \dfrac{\partial T}{\partial t}.$$

数值近似

我们可以通过中心有限差分法对二阶偏导数进行近似

$$\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} \approx \dfrac{T_{i-1}^{\tau} - 2T_{i}^{\tau} + T_{i+1}^{\tau}}{\Delta x^2}$$

和正向有限差分法对一阶偏导数进行近似

$$\dfrac{\partial T}{\partial t} \approx \dfrac{T_{i}^{\tau} - T_{i}^{\tau+1}}{\Delta t},$$

其中 $i$ 为位置索引，$\tau$ 为时间索引。代入解析式，可得

$$k_{td}\dfrac{T_{i-1}^{\tau} - 2T_{i}^{\tau} + T_{i+1}^{\tau}}{\Delta x^2} = \dfrac{T_{i}^{\tau} - T_{i}^{\tau+1}}{\Delta t}.$$

整理该式，我们有

$$\begin{aligned} T_{i}^{\tau+1} &= T_{i}^{\tau}+\left(\frac{k_{t d}\Delta t}{\Delta x^{2}}\right)\left(T_{i-1}^{\tau}-2 T_{i}^{\tau}+T_{i+1}^{\tau}\right) \\ T_{i}^{\tau+1} &= T_{i}^{\tau}+\alpha\left(T_{i-1}^{\tau}-2 T_{i}^{\tau}+T_{i+1}^{\tau}\right) \end{aligned}$$

其中 $\alpha = \dfrac{k_{t d}\Delta t}{\Delta x^{2}}$.

有了这个表达式，我们就可以迭代并找到棒上各点在不同时间的温度。

材料属性

我们研究石墨、钛和金的温度曲线。石墨因其良好的导电性而被用于许多电和热学应用。钛因其低导电性和低密度而被用于航空航天应用。金的特点是其稳定性和良好的导电性。在这里，我们研究这些材料的细棒的温度曲线，以验证这些属性。

材料属性获取自 The Engineering ToolBox。

结果

图一

如图一所示，较浅的颜色表示较早的时间，较深的颜色表示较晚的时间。热扩散系数高的石墨在 2 分钟的时间内达到平衡。热扩散系数相当的金也有较大的温度随时间变化，但它没有达到热平衡。热扩散系数低一个量级的钛显示出温度随时间的缓慢变化。只有与两端相邻的温度有明显的变化，而中心的温度在 2 分钟内没有变化。

由图一，我们可以得出，石墨和金是具有应用价值的良好热导体，而钛是导热慢，是空间应用的理想选择。

图二

如图所示，浅色表示低温，深色表示高温。两端的温度恒定，而中间的温度随着时间的推移而增加。在最终时间，石墨的温度增加最多，而钛的温度增加最少。该结论与它们的热扩散系数相一致。

当互动模式打开时，三维图为较优选择，这样用户就可以旋转图表，看到三维的表面。当作为静态图像呈现时，三维图由于重叠和曲线等细节可能会丢失，因此并不理想。

可视化选择

假设这些图是用于静态的目的，如书籍、文章和演示，二维可视化更有效，因为三维图无法呈现二维静态图像中表面形状的细节。在二维图中，温度随时间变化的趋势是明显的，用户可以很容易地从最终的温度曲线上读出数值。尽管如此，二维绘图在表示时间轴上可能有限制。随着时间点数量的增加，线条聚集在一起，使人无法读出某个点在特定时间的温度。

假设这些图用于交互式目的，如交互式教程，图可以旋转以完全可视化表面形状（如使用 %matplotlib qt），三维可视化更有效，因为它给出了温度如何连续地随着细棒的位置和传导时间变化。然而，其使用情况是有限的。

附录

CHEME 375 Chemical Engineering Computing Skills Portfolio GitHub: https://github.com/tengjuilin/cheme-sci-computing

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